作者：（美）愛德華O.索普（Edward O.Thorp）

出版社：

機械工業出版社

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擊敗莊家：21點的有利策略試讀：

譯者序

我本科畢業於清華大學數學系，後來在中山大學管理學院任教。一個偶然的機會，我了解到量化投資，並讀了愛德華·索普的傳記。受他和另一個量化投資大師詹姆斯·西蒙斯的影響，我進入了量化投資領域。可以説，本書是我成長道路上的引路燈之一。

可以想像，當我得到機會翻譯此書的時候，是何等的喜出望外。我幾乎是懷着朝聖的心情完成本書的翻譯的。

本書書名為《擊敗莊家》，但是我首先要告訴你，這不是一本教你在賭場致富的指南，而是一篇有意思的數學論文。愛德華·索普是美國著名的數學家，也是量化對衝基金之父。他和其他幾位頂級科學家（包括信息論之父克勞德·香農）在60年前一起破解21點遊戲的故事廣為流傳。美國拉斯維加斯和全世界的賭場，甚至因為此書的出版被迫修改了規則。

愛德華·索普顯然和普通的超級賭客是不一樣的。他既沒有選擇獨享，把賭場作為一台提款機，也沒有像「鮭魚先生」（本書第6章提及的傳奇賭客）一樣，流連于波多黎各的海灘和俱樂部，恣意人生，放浪形骸。他只是把賭場作為驗證他理論的實驗室。

愛德華·索普不僅有着科學家身上特有的好奇、嚴謹和分享的特質，還有着西部牛仔般的勇敢和灑脱。由於盈利能力驚人，他被賭場列為危險人物。賭場和黑道關係微妙，它們不惜使用下蒙汗藥、人身威脅這樣的手段，而愛德華·索普仍然堅持他的實驗，甚至想出喬裝打扮這樣有趣的方法和賭場周旋。

愛德華·索普在「擊敗莊家」之後，選擇了更有挑戰的目標，進入了投資領域。他在資本市場發現了可轉債套利的機會。事實上，他研究可轉債套利的成果是期權定價模型的基礎，如果發表，本來有機會獲得諾貝爾經濟學獎；但他沒有這麼做，而是選擇了「擊敗市場」。他前後創立了兩個對衝基金，都取得了巨大成功，年化收益在15%～25%，波動率在5%～7%。因此，他不僅是理論家，更是實戰派。

愛德華·索普和巴菲特有過交集。有一次，索普夫婦到巴菲特夫婦家中打了一夜橋牌。他們互相都給對方留下了深刻的印象。回去的時候，索普對妻子説，他相信巴菲特有朝一日會成為美國最富有的人。英雄惺惺相惜！

可以説，愛德華·索普和巴菲特代表了投資界兩種極致的投資思路。前者完全依賴數據，進行極短線的統計套利；後者排斥過度依賴數據，進行極長期的價值投資。但他們也有共通之處，即強調克服人為情緒影響，理性戰勝市場。

在阿爾法狗已經戰勝人類的時代，21點遊戲對於計算機來説，已經是小菜一碟了。然而，追溯計算科學和人工智能的起源，我們還是要回到20世紀五六十年代那個傳奇的時代。正是那一羣頂級科學家的卓越貢獻，奠定了量化投資、計算科學、信息論和人工智能等學科的基礎。因此，對於當代人，特別是投資界人士，重讀此書，甚有必要。本書對我的啓發主要有以下三點。

第一是任何看似不確定的事物，背後總有某種規律性。這種規律往往是以數學模型的形式表達出來的。愛德華·索普利用概率論推導出基本策略，然後結合凱利公式進行資金管理，進一步提出計點的制勝策略。賭場遊戲是這樣，投資領域也是這樣。

第二是計算能力大大拓展了人類認知的邊界。本書誕生於20世紀60年代是有原因的。20世紀五六十年代是電子計算機萌芽和初步發展的年代。愛德華·索普正是運用IBM 704電腦，計算出了21點制勝策略的詳細表格。當時，IBM 704的計算能力是12000FLOPS（每秒所執行的浮點運算次數），剛好能夠解決21點這類決策問題。而目前15最快的大型計算機神威太湖之光的計算能力是93千萬億（93×10）12FLOPS，相當於IBM 704的7.75萬億倍（7.75×10）！目前的計算能力，再配合軟件和算法的進步，人類就能攻克複雜度極高的領域。例如，2016年3月，谷歌的阿爾法狗就戰勝了圍棋世界冠軍李世石。

第三是軟硬件的集成能力極為關鍵。讓我吃驚的是，愛德華·索普的同事也是「智能硬件」好手。他和其他頂尖科學家、工程師一起開發了便攜式設備，破解了賭場的百家樂和輪盤賭。他還開發出了便攜式21點計點設備，使得賭客可以不用人腦而是用設備記憶出牌點數。這種軟硬件的集成能力，其實是現代人工智能領域的金融科技、智慧醫療、無人駕駛等先進技術的基礎。

對於想去境外賭場娛樂的普通玩家，我可以坦率地告訴你們，「擊敗莊家」的時代已經過去，這本寫於1961年的書不可能成為遊戲指南。目前，由於賭場普遍採用6～8副牌，並且荷官頻繁洗牌，計牌策略已經基本失效。你們只需要閲讀本書第1～3章，熟悉遊戲規則和21點基本策略，背熟表格，就足矣。採用21點基本策略，玩家在規則有利的賭場還擁有（0.12%+0.15%）（第二項0.15%是由於「投降」規則的存在）的微弱優勢，在不利的賭場只有負期望的勝率。因此，「擊敗莊家」已經成為不可能。但是，不虧錢其實就是賺錢。如果能夠擁有和賭場打平的概率，在賭場度假村享受奢華的度假，豈不美哉？

值得一提的是，普通玩家往往了解硬點數策略，但對於軟點數策略和加倍、分牌策略不夠熟悉，而後者的這些數學思維是決定玩家能否和賭場打平的關鍵所在。

對於想深入學習資金管理的讀者來説，閲讀本書第4～8章很有必要。這裏有幾十年前能「擊敗莊家」，如今在金融市場仍然適用的數學思想和策略秘籍。

對於量化投資和金融科技從業人員，一定要閲讀到最後一章。第12章記錄了愛德華·索普這位量化對衝基金之父對於投資行業「科學和運氣」的深刻洞見。

在翻譯過程中，我要感謝合譯者顧磊跟我一起完成翻譯工作，並且進行了策略實踐和境外賭場規則調研。我要感謝同事劉立恆為本書翻譯了圖表。同時，感謝麻省州立大學洛威爾分校的林靜容老師、黃祺女士和章璟女士為本書的部分譯文提供了寶貴的建議。我要感謝我的太太陸穎娜、我的同事金燁和江南。他們的支持，使得我有充足的精力可以投入到本書的翻譯工作中去。由於本人水平有限，翻譯過程中不免有各種錯誤，歡迎讀者指正。徐東升2018年1月於上海

致謝

人生如潮，皆有機運；乘浪而行，方得大成。——莎士比亞《尤裏烏斯·凱撒》

非常感謝羅傑R.鮑德温（Roger R.Baldwin）、威爾伯E.坎蒂（Wilbur E.Cantey）、赫伯特·梅塞爾（Herbert Maisel）、詹姆斯P.麥克德莫特（James P.McDermott）為本書21點策略的計算工作提供幫助，也感謝麻省理工學院（MIT）計算中心提供的IBM 704計算機。

我要感謝許多朋友和同事提出的寶貴建議，特別是克勞德E.香農（Claude E.Shannon）教授、伯特霍爾德·施魏策爾（Berthold Schweizer）、安倍·斯克拉（Abe Sklar）和埃爾伯特·沃克（Elbert Walker）。十分感謝薇薇安（Vivian）和詹姆斯·索普（James Thorp）長時間陪伴我玩21點，並扮演「莊家」的角色。感謝內華達博彩管制局的前特別調查員米高·麥克杜格爾（Michael MacDougall）、部分內華達老一代「計牌」玩家和某個內華達作弊技工，他們向我介紹了許多賭場慣用的作弊手法和裝置，並且提供了大量的賭場常識。與某個聯邦探員的對話給了我大量關於內華達賭場內部活動和對外聯絡的信息。最後但同樣重要的，我要感謝兩位百萬富翁在資金上資助我進行了第5章中提及的非常成功的賭場測試。

經過大量的研究，第1版中的結果已經由IBM公司的朱利安·布勞恩（Julian Braun）進行了提升和改進。他對大多數計點策略進行了計算，並提出了大量的細緻入微並且價值連城的建議。非常感謝他允許我將他的工作成果納入第2版。

特別感謝威廉E.瓦爾登（William E.Walden）在相關的內華達百家樂領域與我一起合作取得成果。

感謝眾多讀者提供了有幫助的建議、想法、個人經歷和溢美之詞，也感謝他們在賭場一次又一次地證明了本書的結論。

最後，感謝第1版《擊敗莊家》的讀者，他們熱情高漲，踴躍購買，成功地使本書進入全美暢銷書之列。第1章導論

黑傑克，也叫作21點，是世界上最流行的博彩遊戲之一。在美國，無論是在內華達州、新奧爾良附近的傑弗遜郡、加爾維斯頓地區、温泉城地區、阿肯色州、白硫黃温泉、西弗吉尼亞州，還是在家裏或者私人俱樂部裏，這個遊戲都廣受歡迎。在波多黎各、阿魯巴島、巴拿馬、巴哈馬羣島以及加勒比海地區的其他國家和地區，21點也廣受青睞。在歐洲的威尼斯麗都賭場、萌島、倫敦，菲律賓羣島的馬尼拉的賭場裏面，21點也是經久不衰。

在英格蘭，21點被叫作「van-john」；在澳大利亞，21點被叫作「pontoon」。它們都是從法語的字節vingt-et-un引申而來的。在德國，它被叫作「Einund-Zwanzig」或者「Achtzehn-und-Drei」。雖然名字有差異，但遊戲在本質上是一樣的。

在現代賭場中的21點遊戲裏，採用本書所述的策略，玩家可以獲得一定的優勢戰勝賭場。這一策略基於概率學的數學理論，是作者和合作者採用電子計算機推算出來的。幸運且令人驚訝的是，這一策略最終轉化成幾張簡單的表格，連一般的玩家都可以理解並記住。此外，這一策略適合在賭場中做所需要的快速計算。

21點的規則在不同賭場裏會稍有不同。基於我對許多賭場的研究，我在表9-2中將這些變化進行了羅列。這個表告訴我們這些變化如何影響玩家的優劣勢，並使其能夠從不同賭場中進行選擇。

沒有哪個策略可以在面對賭場的作弊時獲勝。21點給了莊家一個絕好的作弊機會。除非完全不玩，否則對玩家而言唯一的保護就是找一個玩牌專家來指點了。但是，運用本書第10章所述的方法，普通玩家在大多數情況下也可以有效地保護自己。

在下面的章節中，我們先介紹這個遊戲的規則，然後一步一步地引導讀者達到他想要的精通程度。第一步是學習「基本策略」：一套簡單的規則告訴玩家何時要牌、何時停止要牌、何時加倍、何時分牌。只使用基本策略，玩家便可以在大多數拉斯維加斯的賭場裏獲得0.1個百分點的微弱優勢。21點是目前賭場內唯一一個玩家可以獲得穩定優勢的遊戲。其他已經出版的策略通常給予玩家2～5個百分點的［2］劣勢。第一個大致上正確的基本策略版本由鮑德温等發現並發表，該版本和《擊敗莊家》第1版中發表的改進版本都有一些不準確的地方。針對一副牌和一些特定規則的基本策略的正確版本，將在本書第3章中介紹，這一策略是由朱利安·布勞恩（Julian Braun）計算出來的。在規則有利的賭場裏，基本策略事實上給予了玩家不小的優勢；在規則不利的賭場裏，玩家可能有微弱的劣勢（最高到大約0.5個百分點）。即便如此，21點還是比其他賭場遊戲（包括擲骰子）要好。

基本策略不包括計牌，但是，在掌握了基本策略以後，讀者可以學會一個簡單的修正方法（採用一種計牌策略），使得自己在大多數情況下對賭場有着3%以上的優勢。大部分聽到要計牌的人會説：「我沒法記住整副牌，我甚至記不住電話號碼。」他們可能會吃驚地發現，只需要記住4張牌（莊家用的那副牌）即5點和一些其他信息，經過小的策略調整，就足以獲得對莊家3%以上的優勢！

那些願意並且能夠記住4張牌以上的玩家，可以掌握更複雜的策略。首先，我們提出一套更為強大的新式索普計點系統，這套系統在第1版《擊敗莊家》發表以後由幾個人進行了完善。經過賭場實踐，它被證明行之有效，尤其在多副牌的情況下，它的效果顯著並易於掌握。它與橋牌中著名的戈倫（Goren）計點法一樣簡單實用。每張牌都被記為+1，0，或者-1，你只需要簡單地記住出牌的總點數即可（所以你只需要記住一個數字）。這個計點方法之所以有效，是因為它考慮了玩家見過的每一張牌，這讓玩家可以判斷出對他有利的將近一半的情形。事實上，在單副牌的情況下，他在一半的時間內都對莊家有着微弱的優勢，哪怕只發了一張牌！

10點計數法在第1版中有詳細介紹。有史以來第一次，數以千計的玩家在拉斯維加斯的賭場中進行了成功的實踐，並迫使賭場修改了21點的遊戲規則。（由於規則的改變讓賭場流失了大量顧客，賭場的損失更大，因此這個規則的改變失敗了，然後被取消了。在寫本書的時候，我預見到了這個改變，並且在第8章（第1版）中解釋了規則的變種以及如何繼續取得勝利，賭場老闆明顯只讀到了第5章。）

對於那些後知後覺的懷疑者，第5章提供了一套作者在內華達州應用10點計數法的原始測試數據。兩個希望賺取利潤的百萬富翁借了我10000美元作為初始賭注，我有意非常保守地玩了30個小時。最後，10000美元變成了超過20000美元。後來的事情大家都知道，讓賭場提供一個「友好」的環境越來越難了。它們幹擾我們的方法包括拒絕提供一張專用賭桌，每手或者每兩手就洗牌，更換發牌手，固定時間換牌（有家賭場5分鐘內換了4副牌），以及不賣給我們大面額的籌碼。有家賭場甚至在我們坐下來以後指派了一名作弊的發牌手。

儘管有這樣那樣的幹擾，我們仍然能夠贏得我們想要的賭局。我們最後退出是因為我的教學崗位要求，更因為這一策略已經得到了充分的驗證。

我們相信本書值得購買，也值得多次閲讀。我們希望那些跟我們一起研究21點的讀者放棄迷信所謂的秘籍和運氣。第2章遊戲規則

學習21點的第一步是掌握規則——重點是「掌握」二字。僅僅知道規則的具體意義是不夠的，讀者們必須能夠理解每種規則的後果和不同的變種。熟練的玩家和初學者都應該學習這一章。

每個賭場都有一套21點遊戲規則，和其他賭場的大同小異。稍後，我們會介紹各種規則變種的結果，但首先，為簡化起見，我們考慮一套典型的規則體系。這一套體系是典型的，但不意味着全球通用，規則如下所述。玩家數量

21點遊戲有1個莊家，1～7個玩家。我們在後面會看到，一般來講，一張賭桌上的玩家越少，對玩家越有利。紙牌

通常遊戲使用的是1副52張的紙牌。然而，越來越多的賭場開始使用2副甚至4副牌，使得計牌更加困難。一般來講，牌的數量的增加會稍稍降低玩家的優勢。（在波多黎各，通常是2副牌；在倫敦，通常是4副牌。）發牌

遊戲開始前，由莊家洗牌，某個玩家切牌。然後，一張牌被「曝光」（牌面朝上放到整副牌的下面），被曝光的牌可以選擇是否讓玩家看到。接着，莊家給自己發兩張牌，再給每個玩家發兩張牌。玩家的兩張牌是面朝下的，莊家的牌一張朝上，一張朝下。玩家的兩張牌和莊家朝下的牌，被稱作「暗牌」。

一些賭場會把玩家的暗牌亮出，波多黎各的賭場就是這麼做的，這對計牌的玩家很有利。另外，看見玩家的牌對於莊家並無幫助，因為他必須按照規則行動。稍後，我們會看到缺了一張「曝光」牌的賭局就足以使得玩家擁有微弱的優勢。（這不適用於兩副及以上數量的牌局。）下注

發牌以後，除了保險（稍後再議），玩家下注。賭場規定了最小和最大的賭注，最小賭注一般從25美分到5美元，最大賭注從100美元到500美元不等。

我們的制勝策略包括調整玩家的下注數額。玩家應該在有利的情況下增加籌碼，然後在不利的情況下降低籌碼。

最小賭注的大小對於資金有限的玩家來説至關重要，而最大賭注的大小對於資金充裕的玩家來説更有意義，因為它決定了玩家的盈利比例。在波多黎各，賭注為最小1美元最大50美元是常見的。在倫敦，最小賭注一般從5便士到1英鎊（約合70美分到2.8美元），最大賭注一般是50英鎊（約合140美元）。紙牌的點數，硬點數與軟點數

對於牌A，玩家可以選擇1點或者11點；對於任何一張花牌，都是10點；對於其他牌，點數為牌面的數字。如果一手牌中帶有A，在總點數沒有超過21點的情況下，它能被算作11，則這手牌被稱作「軟」牌，其餘被稱作「硬」牌。因為對於軟牌有兩種可能性，我們定義它的點數是將A計作11的點數。

軟牌與硬牌之間的區別是重要的。我們將看到持有組合的軟牌時的最優策略和持有相同點數的硬牌時的最優策略是迥然不同的。玩家的目標

每個玩家試圖獲得超過莊家，但是又不超過21點的總點數。天成

如果玩家或者莊家拿到的前兩張牌是A和一張10點的牌，那麼這手牌就被稱作「天成」或者「黑傑克」（blackjack）。如果玩家得到天成而莊家沒有，那麼玩家從莊家那裏得到下注額的1.5倍。

如果玩家沒有而莊家有天成，那麼玩家的所有賭注就賠給莊家。如果玩家和莊家都是天成，那麼打平。

在1964年，內華達州引入自動21點分牌機，其對玩家的天成進行了2：1的賠付。我們將在第9章中分析這類機器。要牌

要牌從莊家的左手邊開始並按順時針方向進行。玩家看了暗牌以後，可以選擇「停牌」（不再要牌）；否則他可以要求莊家再發牌，每次一張，牌面朝上。

如果玩家點數「爆了」（超過21點），那他要立刻翻開暗牌並將全部賭注賠付給莊家。在所有玩家要牌以後，莊家亮出其暗牌。如果他的點數小於或者等於16，則必須繼續要牌，直到點數大於或者等於17，他才停止。如果莊家拿到一張A，並按照11計算使得總點數大於或者等於17，且不超過21點，那麼他必須把這張A算作11點並停止要牌。

許多賭場調整了這條軟牌規則，使得莊家在軟點小於或等於17的時候繼續要牌，在軟點大於或等於18的時候停止。用這種方法，莊家贏得了一個微小的優勢。一些賭場通過更多類似的調整以獲得更大的優勢。

通常，玩家通過説「Hit」或者「Hit me」，或者簡單地用他的牌輕刮桌面，來表示要牌。如果玩家不再要牌了，他可以把底牌面朝下，然後説「Stand」，或者把牌放到賭注下面。對於玩家來講，發牌以後再摸賭注是不禮貌的行為。這是因為，如此一來，會被懷疑在看到莊家的明牌後試圖更換賭注。結賬

如果玩家沒有超過21點，但是莊家超了，那麼玩家押多少賭注，莊家就賠付多少。如果玩家和莊家都沒有爆掉，那麼點數大的一方就贏得押注額大小的金額。如果雙方點數相同，也沒有超過21點，那麼打平，誰都不賠不賺。

玩家和莊家的平局叫作「Push」。當有平局時，莊家拿走玩家的牌但不觸碰其籌碼。這有時候讓人摸不着頭腦，所以為了強制引起玩家的注意，莊家有時候將玩家的牌翻起，並在敲打幾下桌子以後將牌拿走。

在有些賭局中，平局算莊家贏，這將帶給莊家可怕的9%的優勢。千萬不要參與這樣的賭局。

有人可能會想，除了天成，如果平局下沒有輸贏，那麼玩家採用和莊家一樣的策略是合理的。但是，研究發現，玩家採用莊家的策略會失去5～6個百分點的優勢。原因在於，如果玩家爆掉，即使後面莊家也爆掉，玩家還是賠光其賭注，這就是一個玩家與莊家是「平手」，但是算莊家贏的極佳案例。分牌

如果玩家的底牌是兩張一樣的牌，就叫作「一對」。他可以選擇將牌亮出，分開變成兩手牌的各自的第一張，這叫作「分牌」。原來押的賭注跟其中的一手牌，還要押上相同數額的賭注跟另一手牌。對玩家的兩手牌，都會自動地發第二手牌，牌面向下。然後，玩家分別對每一手牌進行要牌，就像一開始就發成這樣，兩者只有下面這個不同之處。如果是一對A分牌，每手牌只能要一張牌，另外，如果分牌的A，又發了一張10點牌，這不算作天成，而是普通的21點。同樣地，如果玩家對10點牌進行分牌，然後拿到了一張A，這也被認作普通的21點。如果玩家在分牌以後又拿了一張相同的牌，那麼他不能再分牌了。

A是最好的分牌機會。拉斯維加斯有過臨時的規則即對A強制分牌，目前取消了。內華達州引入了第一代自動21點發牌機，不允許分牌。加倍

在看了暗牌以後，玩家可以選擇加倍，然後要一張（也只能要一張）牌。這個策略被稱作「加倍」。選擇加倍的玩家，亮出底牌，然後拿到第三張暗牌。除了一對A的情況以外，玩家可以在分牌後加倍其中的某一手牌，或者兩手。

在波多黎各，只有在11點的情況下允許加倍。在內華達州的一些賭場，尤其是在裏諾（Reno）和塔霍湖（Tahoe）地區的賭場，在10點或者11點的情況下允許加倍，第一代自動21點發牌機也是如此。拉斯維加斯的臨時規則（目前已取消），限制在硬11點時才能加倍。這一點是除了上面提到的對A的分牌以外，另一個規則的改變。限制加倍提高了莊家的優勢。保險

如果莊家的明牌是A，在發牌前，玩家可以有一個額外的賭注。看了暗牌以後，玩家可以加一個不超過初始賭注一半的額外賭注。在玩家決定是否買保險以後，莊家檢查其底牌。如果莊家是天成，保險的賭注獲得加倍賠付。如果莊家不是天成，保險的賭注就輸掉了，遊戲繼續。不論保險的結果如何，初始賭注仍然繼續，不受影響。

假設玩家買了附加賭注，莊家拿到了天成，但玩家沒有，那麼玩家輸掉其初始賭注，但附加賭注贏了一倍回來，總體打平。這就是為什麼這個附加賭注叫作「保險」的原因。很多北內華達的賭場和自動21點發牌機不允許保險。慣例和實踐

21點有一些算不上規則的慣例。它們因賭場而異，在一個賭場內因輪班而異，甚至在一個輪班內因荷官而異。（內華達州的賭場一般是24小時連續營業的，三班倒。在波多黎各，賭場通常從上午8點開到下午4點，所以只有一班。）這些慣例和我們在第3章中介紹的基本策略關係不大，但是和後面討論的制勝策略有所關聯。

洗牌。在每局牌之間的任何時間都可以洗牌，這是一個慣例。如果在玩的過程中牌用完了，莊家也可以洗牌。而在牌沒有用完的情況下，莊家在牌局中途洗牌，可能被認為是出老千。玩家可以在任意賭局結束後要求洗牌，荷官有時候會同意，有時候會拒絕。

我們把莊家非必要的頻繁洗牌稱為「shuffle up」。

託兒。託兒是假扮成玩家的賭場僱員，用來吸引玩家或者刺激賭局。某家賭場的某個時段，可能有託兒。

託兒通常遵循自己的規則，例如，他們從不加倍、分牌或者買保險，在大於等於硬12點的時候就停止要牌，遇到軟點數的時候，他們遵循莊家的策略進行要牌或停止。如果託兒不遵循一套固定的規則，他們可能會幫助莊家或者賭場欺騙玩家（見後文有關「anchor man」的討論）。

新牌。雖然法律上沒有明確規定，但是按照慣例，玩家可以在任何需要的時候要求換新牌。通常，新牌會先背朝上展開，背朝上時，荷官可以檢查撲克牌的背面是否有可以讓玩家認牌的記號。然後，撲克牌面朝上展開，玩家可以藉此機會檢查是否有牌被抽走或者加入。第3章基本策略

某個聖誕假期，我和妻子決定從加州大學洛杉磯分校的教學任務中抽身出來，到拉斯維加斯放鬆幾天。我們以前都去過，但是當時我們沒有賭錢。我們觀看演出，享用物美價廉的大餐，還有在合適的季節泡在遊泳池中。

在我們出發之前，加州大學洛杉磯分校的索爾真弗雷［2］（Sorgenfrey）教授向我介紹了某數學期刊上的一篇最新論文。論文描述了一種21點策略，據説它能把賭場的優勢限制在0.62%以內。因為這個數字是如此接近平衡點，對於玩家來講，比其他賭場遊戲好多了，所以我把這個策略寫在一張小卡片上帶在身邊。

當我來到21點賭桌的時候，我買了10美元賭注。我沒有期望能贏錢，但是我想看看我的賭注能堅持多久，同時也想實踐一下這個策略。

一開始，由於玩得慢並且還手拿一張小卡片，我吸引了許多好奇的圍觀羣眾，莊家隱藏不住對於這種「機械化」玩家的蔑視。這種氣氛在他們看到我的玩法以後加劇了。當面對莊家明面的A時，有誰會對一對平凡的8進行分牌（這就是在面臨風險時加倍了賭注）？在面對莊家明面的5時，有誰在拿到A和2時加倍？在面對莊家的4時，有誰會在硬點12點時停止要牌？

禍不單行，莊家這一輪的運氣相當好，桌上的每一個玩家都輸得很慘。很明顯我的這10個「小不點」會馬上輸光。但是，真的會嗎？似乎這個詭異的玩法被證明是正確的。當其他玩家損失慘重的時候，我這一小堆籌碼還在堅持，偶爾還贏一點。20分鐘以後，大部分籌碼還在。新手頭運！

然後奇怪的事情發生了。我拿到（A，2），然後要了一張是2，再要一張是3。我現在有（A，2，2，3），軟點18。莊家有明牌9，但是他可能有19點。只有傻子這時候還會要牌，面臨着這麼好的牌被爆掉的風險。我看了下我的卡片，然後要牌了。在眾人的詫異、不滿和嘖嘖質疑聲中，被逗樂的圍觀者看着我拿到一張6。硬點14！「給我張好牌。」我繼續要到一張A，變成硬點15。為試試手氣，我繼續要牌，是一張6！現在，我有（A，2，2，3，6，A，6）或者説7張牌21點。這太少見了，幾千手牌才有這樣一次。

在短暫的震驚之後，一些圍觀者建議我應該得到一筆25美元的獎勵，莊家拒絕了——這隻有在裏諾的部分賭場裏才有。我從不知道還有這種獎勵，不過我想可能是因為我很有趣地塑造了這樣的形象：因為預知7張21點才犧牲了軟18點。「誰知道，他們甚至會給我獎勵呢。」當然他們沒有。但是，有些圍觀者已經由嘲笑和小瞧，轉變成了尊重、關注甚至是景仰。

又過了15分鐘，在莊家和其他玩家清點以後，我還有8.5美元，然後決定就此罷手。然而，從這短短幾十分鐘的經歷感受到的無知與迷信，深深地在我腦海中留下一個印象：即使是「高手」也對這個遊戲的本質一無所知。應該有辦法可以戰勝莊家。

當我回到家，我開始認真研究這個遊戲。我確信，在高速計算機的幫助下，可以找到制勝策略。作為尋找這個策略的第一步，我採用了IBM 704計算機來改進上述插曲中的策略。這就是改進版，我稱之為「基本策略」，你將在本章中學習到，這是後續制勝策略的基礎。計算顯示，在一個典型的賭場，玩家使用正確的基本策略會擁有0.12%的相對優勢；在某些賭場，玩家的優勢可以到0.6%；但在規則不利的賭場，玩家可能會有1%不到的劣勢。對於某些自動21點發牌機來説，基本策略玩家理論上擁有1.6%的優勢，並能夠穩定盈利。詳見第9章。

在「等待」更好的時機來臨之前，你必須一次又一次地使用基本策略。這個策略必須被完整地記下來，從而使得在每種情況下，你可以毫不猶豫地決策。玩家的決策

正如我們在上一章中看到的，遊戲一開始有一些特定的準備工作。玩家入座後，莊家洗牌，某個玩家切牌，莊家曝光一張牌，在玩家把賭注放到身前的桌面上以後，莊家給每位玩家和自己兩張牌。如前所述，莊家的一張是明牌，一張是暗牌。

在這個時候，玩家必須要做出一系列的決策。主要的幾個決策包括：如果有機會，是否要分牌，是否要加倍，是否要牌或者停止。一般來講，玩家是以他手上的牌、莊家的明牌和任何其他看到的牌作為決策依據的。但是，在本章中，玩家只根據他手上的牌和莊家的明牌來做決定，而忽視其他看見過的牌。在本章中介紹的基本策略是僅僅使用獨立信息的最佳策略。稍後，採用已出牌和在之前輪次用過的牌的信息，加上自己的暗牌和莊家的明牌，我們還可以改進本策略。

玩家的核心決策（分牌、加倍、停止和要牌）以及他的決策順序列在圖3-1中。圖3-1 玩家的核心決策

①記住：當一對A分牌時，你在每張A後面只允許要一張牌。基本策略中的要牌與停止

在大部分情況下，玩家都不會分牌或者加倍。因此，他的決策就簡化為要牌或者停止。由於這個決策是最簡單也是最重要的，我們先學習這個部分，先不考慮分牌和加倍。

在硬點數的情況下，查看表3-1就可以決定是否在當前點數停止，還是要一張或者多張來改進自己的點數。表3-1 硬點數下的要牌或者停止

①當你的硬點數是16時，需要分情況區別對待：如果你有2張牌，也就是（10，6）或者（9，7）的情況，你應該繼續要牌；如果你有3張或以上的牌，例如（6，4，4，2），你應該停止要牌。

②在莊家點數為10，你的點數是（7，7）的情況下，應該停止要牌。

要注意到表3-1告訴我們在點數為11或者以下時，無論如何是要牌的。這點順理成章，因為這時候玩家是不可能爆掉的，所以必須要牌增加點數。

表3-1提供了圖形化的方式用以表示「硬點停止數字」。對於給定莊家的明牌來講，硬點停止數字就是你停止要牌的最小數字。例如，如果莊家的明牌是7，表3-1告訴我們停止數字是17，這個是你在硬點數時的點數目標，你在總點數為17或者更大時停止，你在總點數為16或者更小時要牌。當莊家明牌是6時，停止數字就掉到12了！現在，你應該在12或者更大時停止，在11或者更小時要牌。

對基本策略已經很熟悉的玩家還可以加入注釋中的小優化，這個注釋考慮了當莊家明牌是10時的情況。總點數16面對莊家10點時的改進策略，考慮了玩家的底牌，這預測了未來的結果。

值得一提的是，面對莊家的某一張明牌，如果你在某一點數停止，那麼你在更高點數下同樣要停止。同樣地，如果你在某一點數要牌，那麼你在更小點數下同樣要要牌。

當你的點數是軟點時，根據表3-2來決定你是否要牌或者停止。表3-1和表3-2的解讀方法是一致的，但是當比較它們時，我們發現，相對於硬點數，軟點數下要牌的總點數要高不少，其中的部分原因很清楚，如下所述。回憶下我們説過的，玩家在硬點11或者以下時，要一張牌總是更好的。類似地，在軟點16或者以下時要牌，不會有任何損失。因為點數是軟的，玩家不會由於要一張牌而超過21點，因為A可以自動按照1進行計算。總點數減去10可以保護玩家不管拿什麼牌都不會爆掉。如果再拿到一張A，如有必要，它會被計為1點，任何其他牌都是10點或者以下。表3-2 軟點數下的要牌或者停止

在軟16點或以下時，要一張牌不會爆掉，總點數只會好不會差。因為最終總點數為16點或小於16點，是一樣的。如果你停止而莊家爆掉，玩家一樣會贏。如果你是16點或更小，而莊家沒有爆掉，那麼按照規則他必然是17到21中的某個點數，玩家一樣是輸。這樣，莊家會自動戰勝總點數是16或者以下的。因此，在軟點16或者更小時要牌沒有任何壞處。事實上，你可能會幫到自己。例如，手牌（A，5），如果你再拿到A，2，3，4，5中的任何一張牌，你就有機會打平或者贏；手牌（A，2，A），如果你再拿到3，4，5，6，7中的任何一張牌，你就有機會打平或者贏。

如果拿到了軟17點，有一個比較小的可能性會輸。如果你停止要牌而莊家拿到17點，就平手，你就避免了輸掉賭注。可是，如果你在軟17點時繼續要牌，你可能把點數變成小於17的硬點數。如果之後你停止要牌，那你比之前還差：如果莊家剛好拿到了17點，你現在是輸的，而之前是平局。如果你在這個硬點數繼續要牌，你可能一下子就爆掉出局。舉例來講，手牌（A，3，3）=軟17點，假設再抽到5，那麼變成（A，3，3，5）=硬12點。如果莊家明牌是5，那麼表3-1建議停止；如果莊家明牌是A，表3-1建議要牌，如果要到一張10，結果就是（A，3，3，5，10）=22（即使把A算作1），爆掉。

儘管在軟17點有可能會把手牌變得更糟，但計算顯示改善點數的可能性大於該風險。例如，拿到（A，6），你可能抽到A，2，3，4，所有這些牌都會改善你的點數。即使你抽到5，6，7，8，9或者10中的任何一張，你也不會爆掉。如果你願意，你仍然可以繼續抽，去爭取一個更好的總點數。

有時候遵循這些指令需要一些意志力。我曾不止一次面臨這種糾結的局勢，有次在內華達州的某個賭場，我玩「大賭注」的局。用後面章節提到的計牌方法，我知道自己在下一輪有5%的優勢，因此，我下了最大賭注500美元。莊家明牌是7，我的牌是（A，6），軟17點。因為剩下的牌裏面有大量的10，我非常肯定莊家的牌是17。由於，只有4張牌會使點數更好——A，2，3，4；5張牌會使點數更糟——5，6，7，8，9，我極不情願去要牌，只想平局算了。然而，我還是咬緊牙關要了一張，拿到了8，現在我是硬15點。我屏住呼吸繼續要牌，這次我拿到了A，現在我是硬16點。我勉強地再要了一張，讓我吃驚的是，居然拿到了3。現在，我決定在硬19點停手。當莊家亮出暗牌時，更讓我吃驚的是，他的底牌居然是最後一張A（一張已經在前面輪次亮出了）。根據規則，他必須停止要牌。基本策略不但讓我省了500美元，還讓我的錢翻倍了。

從表3-2中可以看到，軟點最小停止點數和硬點類似。於是，對於給定莊家的明牌，如果你的軟點數比這個數字小，你就繼續要牌；如果你的軟點數大於或等於這個數字，就停止要牌。經常練習的讀者會很快熟悉表3-1和表3-2中停止要牌的點數。

假設你現在進入一家賭場去練習這個策略。你從不加倍，從不分牌，從不買保險，你會怎麼樣？讓人吃驚的是，賭場只有2%的優勢，賭局已經接近公平了。它比最近才被世界著名玩牌專家推薦的方法［8］

還要好。基本策略中的加倍

下面這部分的策略很關鍵，也很簡單，就是加倍。也許，在學會分牌以後再來記憶軟點加倍策略要更加方便一些，但是為了完整性，我們在此就討論軟點數的加倍。

就像在圖3-1中指出的，是否加倍必須要在是否要牌之前決定，決策依據如表3-3所示。莊家可能的明牌列在表頭，玩家的總點數列在最左側。為了決定是否加倍，首先看你的總點數是否在左側列。如果沒有在左側列，你不應該加倍，轉而進入下一個決策，即要牌或停止；如果出現在左側列，找到這一行與莊家明牌的相交空格；假如這個位置是陰影，那就加倍。注意這個表有兩個部分，一部分僅對應軟點數，另一部分僅對應硬點數。表3-3 加倍

②除了手牌為（6，2）的情況，都應該加倍。

為了説明如何使用表3-3，假設莊家明牌是3，你的底牌是（A，6）或者是軟17點。找到對應位置，你會發現是陰影格，因此你應該加倍。

在表3-3中，我們需要注意如下幾點：首先，有些點數不管是軟的還是硬的，都不加倍。其次，硬點數時總在11或者更小時才加倍；軟點數時總在13或者更大時加倍。在軟12點的時候，加倍有時候比要牌好。不過如果軟12點意味着一對A，這時候分牌比加倍好多了。

我們注意到在硬11點的時候總是加倍。對於硬10點，除了對莊家的A和10以外，玩家都加倍。除非後續抽到一張A，否則硬10點總比硬11點稍稍差一點，因為前者的總點數總是比後者的總點數少1點。硬9點比硬10點更差一些，然後在硬8點時加倍的情形非常少。事實上，在硬8點時加倍很少見，收益也少得可憐，因此你在實踐中可以忽略它。

顯而易見，這個表告訴我們，當莊家拿到7，8，9，10，A時，玩家永遠不要用軟點數加倍。

如果不用數學推導，很難解釋加倍策略的原理，但其實實踐一下你很快就能銘記於心。由於在拉斯維加斯的銀拖鞋賭場（Silver Slipper）玩過的一手牌，我永遠記得軟13點對莊家5應該加倍。那次，我和朋友想去看看，在我們贏了很多錢以後，賭場是否還讓我們繼續玩。我的賭注在1美元到10美元之間變動。（其實現階段在1美元到3美元之間變動比較明智，數以千計的《擊敗莊家》的讀者在賭場裏已經交了許多學費。）因為我經常下注1美元，所以我們同意絕不把賭注提高到超過10美元——那樣會引起關注。但是，一個非常吸引人的情況出現了（對莊家有6%的優勢）。我無法拒絕！我一把押了30美元。讓我滿意的是，莊家的明牌是5，是對玩家最有利的牌。我非常自信地翻開自己的底牌（A，2）選擇了加倍。我根本懶得看發給我的牌，因為我估計莊家的底牌是10，然後要一張牌就直接爆掉。讓我震驚的是，莊家的底牌是4，然後他又要了一張10，總點數為19。我抱定了輸的打算，但當莊家打開我的底牌時，居然是一張7！

莊家的表情很奇怪，好運氣只是其一，主要是我提前下了重注好像我能預知未來。（當然，我在有限的程度上是可以的，儘管在這一手牌的細節上我錯得離譜。）莊家沒有意識到的是，他拿到4其實是幸運的，儘管我後來拿到了7。基本策略的一個特徵是：應用它的玩家比一般玩家顯着地「好運」許多。在這個案例裏，我的「好運」被尷尬地證明了。

一旦你掌握了硬點數的加倍策略，你就進一步將賭場的優勢降低到了1%以內。基本策略中的分牌

記住要牌、停止要牌和硬點數的加倍策略（包括軟點數的加倍）以後，你可以把分牌策略也考慮進去了。我們首先介紹詳細的分牌策略，然後給出一個簡單的學習方法。

如果你有一對牌，圖3-1顯示在加倍和是否要牌之前，你的第一個決定是：是否分牌。你可以依據表3-4做出分牌決策。在這張表裏面，莊家的可能明牌列在首行，玩家的可能對子列在最左側。如果你有對子，從莊家明牌列往下找到你的對子所在行，鎖定單元格。如果單元格是空白的，不分牌，然後依據表3-3進行下一步；如果單元格是陰影的，先分牌，然後依據表3-3進行下一步。如果你沒有對子（大約七分之六的可能性），跳過表3-4，直接參照表3-3。

如果表3-4看起來太複雜，你可以用一套近似的規則來代替，就是：一對A和一對8，永遠分牌；一對4、一對5和一對10，永遠不要分牌；對其他對子，莊家明牌是2到7時分牌。表3-4中的深色線表示了這套規則。注意到這套近似規則只有5個錯誤，有些錯誤其實蠻嚴重的，但是這些情況比較少出現，因此帶給莊家的優勢增加量只有0.13%。一旦你學會了近似的分牌規則，配合加倍策略和是否要牌策略，你就可以詳細學習分牌策略了。表3-4 分牌

按照方塊排列的圖形化，表3-4中的100個信息點就容易被記住。舉例來講，規則「一對A和一對8，永遠分牌；一對5和一對10，永遠不要分牌」包含了40個格子。規則背後的原因能夠幫助記憶。一對A必須要分牌，因為分牌以後每一路獲得贏手（甚至是21點）的機會非常大，然而不分的話（A，A）僅僅是軟12點，要不加倍，要不要牌或者停止。

如果莊家明牌是7，8，9，10或者A，玩家拿到8應該分牌，不只因為每一路從8開始還有機會拿到大牌，更因為總的來説16點實在是太差了。16點不好是因為：當莊家的明牌是7或者更高時，他不容易爆掉，如果不爆掉，他就鐵定贏了16點。所以，把一對8分開，是為了「拯救」一手壞牌。

看上去新手牌沒有那麼不好（事實上，它們關乎贏牌概率），即使你押上了新的賭注，你的淨虧損還是顯着地下降了。當莊家明牌是2，3，4，5或者6時，一對8的分牌得益於兩個方面：第一，一手差牌被兩手平均牌取代了；第二，莊家在以上明牌的時候爆掉的機會很大，因此在賭桌上多押一些錢是有利的。

一對10分牌是不好的，因為它把一手非常好的牌（20點）變成了兩手稍優於平均的牌。對5分牌沒有好處，因為它把一手可以加倍、可以要牌的好牌，變成了兩路差牌。

注意對於一對2，一對3和一對6，策略是一樣的——當莊家明牌是2到7時分牌。

對於7的策略在我腦中揮之不去，僅僅因為當莊家明牌是2～8時，7應該分牌，而8比7多一點。對於9，當莊家明牌為從2到9時分牌（9-9很容易記），只有一個例外：當莊家明牌是7時，不要對9分牌。這裏有一個方法記住這個例外：2張9的總點數是18，如果莊家明牌是7，總點數17是遠高於平均水平的（見附錄表1，莊家的概率）；我們可以選擇停止，以期望戰勝莊家。表3-5 基本策略迷你全圖

表3-1至表3-4可以用表3-5中羣組的方式進行表示。表3-5中微型化的匯總表示方式，也會在我們的制勝策略中使用。

第一眼看上去，表3-5也許有歧義。例如，持有（A，6）對莊家明牌4，玩家應該加倍還是僅僅要牌？看圖3-1，玩家應該首先考慮加倍，然後表3-5建議加倍，因此玩家應加倍。使用基本策略的預期結果

現在，你對基本策略已經足夠熟悉，可以實際檢驗了。

一般來講，即使你應用基本策略，你和賭場的勝率還是打平的，但以下的數據會鼓勵你去應用該策略。表3-6展示了在每手1美元的情況下，玩100手（取決於莊家的速度和桌上的人數，一般需要30分鐘到1.5個小時）和1000手（取決於上述條件，一般需要5～15個小時）的預期結果。如果每手的賭注不一樣，則將表中數字乘以相應的賭注額就可以。舉例來説，如果你每手下注5美元，則乘以5；如果你每手下注50美分，則乘以0.5（或者除以2）。1000次1美元賭注的平均收益是1美元，100次1美元賭注的平均收益是10美分。因此，我們認為基本策略本質上是平局：對任何一方都沒有真正的優勢。表3-6 使用基本策略的結果①收益為負數表示虧損。

①收益為負數表示虧損。［3］

表3-7展示了鮑德温等得出的結果（其策略與基本策略本質上一致）。表3-7 鮑德温等得出的結果

在表3-7中，每組的局數非常接近1000，我們可以假設每組局數就是1000，因此，我們可以用表3-6的第二部分對表3-7中的結果做一個大致的檢查。除了有個大的偏差-56美元外，一切都是正常的。如果這僅僅是由運氣造成的，那麼這個偏差就是少有的情況。表3-6告訴我們，如果玩1000手，虧56美元以上的概率小於0.1%。如果玩的次數少，像表3-7中的770次，這種偏離的機會會更小。事實上，計算結果顯示，如果每手1美元玩770手，虧損超過56美元的概率大約是0.01%，即這種概率大約是10000：1。與其他21點策略及其他賭場遊戲的比較

我們之前提及過基本策略優於其他21點策略，也優於其他公佈的任何賭場遊戲的任何策略。表3-8和3-9列出了具體的數值。表3-8 基本策略和其他21點策略的對比表3-9 其他賭場遊戲的最佳策略與基本策略的比較

①在這個正在銷聲匿跡的遊戲中，荷官會對持續下對等賭注的計牌者（0%的優勢）表示不高興。只有在玩家知道牌箱中的哪些牌是被用過的情況下，才能取得表中的優勢。一些常見的21點遊戲的誤區［2］

21點遊戲的基本策略首先由鮑德温等在本書開始寫作的4年前出版（其中有些不太明顯的錯誤）。然而，帶有致命錯誤的21點策略層出不窮。在下面的討論中，我們會設計一些實驗來展示幾個更為明顯的錯誤。有些實驗只佔用讀者不超過1個小時的時間。每個實驗都將揭示一個與基本策略相比較的常見策略的錯誤。

實驗將向任何實踐過的人們證明基本策略在這些節點上是正確的，而其他策略則存在明顯的紕漏。研究這些實驗你可以自己設計實驗，來驗證基本策略和其他策略的顯著區別。原則上，我們可以驗證任何分歧，不僅僅是大的分歧；但是對於很接近的決策，需要花費相當長的時間。

本章後續引用的表都在附錄裏。現在還不需要去理解這些表，重要的是要理解如何通過實驗來驗證策略。實驗一：硬16點面對莊家A，是要牌還是停止要牌

表2a告訴我們，當莊家明牌是A時，玩家在硬16點時應該要牌而不是停止，這樣能增加平均14.6%的優勢。換言之，在硬16點時停止而不是要牌會花費玩家平均14.6%的優勢。下述實驗設計用來驗證這點。從一副牌中取出一張A，面朝上放在桌上，這表示莊家的明牌。接着，在一張卡片上寫上16，放在你面前，這表示你的硬點數。

當然，這與實際情況不是完全一致的。在賭局中，玩家實際組成16點的牌會影響要牌的優勢概率。可以想像，如果這個硬16點是由很多張小牌組成的，停止要牌或許會更明智。舉例來説，考慮一種類似情形下的決策，即莊家明牌是10，玩家硬16點決定是否要牌，根據表2a，要牌比停止可以平均提高2.9%的優勢。但是當玩家的16點是由（4，4，4，4）組成的時候，根據布勞恩（J.H.Braun）的研究，精確的計算結果是停止要牌獲得6.382%的優勢。

在我們的實驗中，用一張紙寫上數字的目的是這樣的：玩家可以用我們的實驗來代替實戰的一局，同時記錄要牌或者停止的結果。他的平均長期結果應該在14.6%的上下零點幾個百分點內浮動。因此，通過這種總紙點的方式，我們可以節約大量時間，省去大量麻煩。對於其他實驗，這些考慮也同樣適用。

讓我們回到實驗。洗牌以後，發200手牌。假設你在硬16點時停止要牌，發一張牌給莊家（作為暗牌）。如果他拿到了天成，則去掉這張10點牌，不記錄結果。我們這樣做是因為，只有在莊家檢查暗牌以後發現沒有天成，才會有硬16點以後是否要牌的問題。如果暗牌不是10，則繼續發牌，直到爆掉，或者取得硬/軟17點或者更大。如果莊家爆掉，你贏；如果他沒有爆掉，你輸。記錄結果。去掉用過的牌，發下一手牌。當100手這樣的牌局結束以後，玩家平均會贏17局，而輸掉其他的。這基本符合表3的論斷，即玩家在莊家明牌A的情形下停在16點，輸牌的概率是66%。

接着，發200手牌，如下所述。給莊家發一張牌（暗牌），如果是10點，去掉，然後發另一張，理由同上。現在，假設你在16點時，再要一張牌（也僅僅是一張牌），如果爆掉，你就輸了。去掉用過的牌，記錄輸掉的結果。如果你沒有爆掉，那麼就是落在硬17點和21點之間。你自己不再要牌了，而是給莊家要一張牌，直到他爆掉或者總點數是17或者更大。記錄你贏、平或者輸的結果，然後繼續下一手。

你「贏」的百分比，就是贏局的數量加上平局數量的一半（舉例來講，如果每局都是平手，就等同於贏了一半輸了一半）。在這次實驗中，每100手平均贏局的數量是24.3。因此，玩200局16點對A，用後面的方法會多贏2×（24.3-17）即14.6局。但是，在每組實驗中，結果可能與上述數字有偏差。事實上，每50次有1次，在硬16點對莊家A時，停止要牌會比要牌好。實驗二：硬10點面對莊家A，加倍

這個實驗的實施與上一個實驗基本一致。因為有着6.1%的最大差別，我們選擇暗牌（8，2）來縮短實驗時間。6.1%這個數字是從表4j中得到的，從表中我們可以看到，持有（8，2）對莊家A，如果我們簡單地要牌，直至達到一個合適的點數，從長期來看我們可以贏到賭注的8.6%。但是如果選擇加倍，從長期來看只能贏到賭注的2.5%，兩者相差6.1%。玩400手加倍的牌，然後用贏的手數減去輸的手數，接着，把這個數字乘以2以反映你的加倍，這就是你玩400手面對A的加倍策略的總利潤。像之前一樣，記得把莊家的天成牌忽略。如果莊家拿到暗牌10點，就再發一張。

然後，依據面對A的正確的要牌與停止要牌策略（見表3-5）玩400手牌。用贏的數量減去輸的數量得到玩400手的利潤，平均下來，你贏的局數會比輸的局數多17.2次。選擇加倍，平均多贏的局數是5.0局。實驗三：面對莊家明牌5，對6分牌

依據表4f，分牌比停止要牌的優勢高17.2+10.2即27.4個百分點。如果你停止要牌，玩100手牌你淨輸10.2局。如果你分牌，你的100手牌變成200手牌，其中你贏的手數會比輸的手數多17.2或者更多。採用分牌而不是停止要牌，你會在這原始的100手牌中多贏27.4局。每種牌型50手的差別就是決定性的。模仿莊家［2］

引用鮑德温等的話，「模仿莊家的策略，16點或以下就要牌，17點或以上就停止要牌，從不分牌與加倍，預期收益是-0.056」。也就是説，莊家有5.6%的優勢。

讓我們通過計算玩家模仿莊家策略來演示如何應用表1。首先注意到，當玩家遵循這些規則的時候，除了兩種情況，這個遊戲是對稱的。如果莊家和玩家都爆掉，則莊家贏。在模擬中，我們假設在玩家爆掉的情況下，莊家仍舊拿牌，如果爆掉，則按爆掉計算，這對莊家有利。莊家獲得的優勢就是莊家和玩家同時爆掉的概率。因為假設莊家和玩家採用相同的策略，則表1（莊家的概率）對莊家和玩家同樣適用。每方爆掉的概率是0.2836（假設獨立同分佈，雖然不是嚴格精確但在牌是完整的情況下，足夠近似），同時爆掉的概率是0.2836×0.2836，即8.04%，這是莊家的優勢。第二個不對稱的情況是玩家拿到天成時贏得1.5倍，而莊家不是，莊家在拿到天成時只贏1倍。每方有4.68%的機會拿到天成，從這個角度上講，玩家得到其中的一半，也就是2.34%。綜上，莊家的淨優勢就是（8.07-2.34）即5.73個百分點。從不爆掉的策略

另一個有趣的數字，是計算莊家在對一個在可能爆掉時從不要牌的玩家的概率優勢。首先我們要説明這意味着玩家的硬點停止要牌點數是12。但是，軟點停止要牌點數是不確定的。這樣，這個問題按字面來看就是沒有意義的。由於這個問題無從回答，我們假定軟點停止要牌點數是17，然後繼續討論。如前所述，常識告訴我們軟點停止要牌點數至少是17。我們知道18點永遠比17點要好，因此軟17點輸牌的概率比軟18點要大許多。我們把這種稀奇的策略稱為「保守」策略。

我們斷定莊家對使用「保守」策略的玩家的優勢是5到8個百分點。我們的證據來自三個方面。第一，我們進行了一個實驗，分6組，每組100手，採用保守策略。玩家淨輸的局數在2～13之間分佈，平均是7。這與我們的數字5～8個百分點是一致的。因為600這個數字是提前就選定的，不受實驗結果的影響，所以標準概率論中的公式適用於這些數據。我們的結論是莊家的優勢幾乎可以確定在3～11個百分點之間。第二，我們進行了手工計算（這相對容易，因為硬點停止要牌點數很小），證明這個數字是在10%以下的。第三，也是最好的，鮑德温和他的合作者給出了一個數字4.75%，這是莊家對一個在硬12點時停止要牌、從不加倍、只對A和8分牌的玩家的優勢。（他們沒有給出軟點停止要牌點數。）可以證明，對玩家來説，對A和8進行分牌增加了不到1%的優勢。軟點停止要牌點數如果有更好的選擇，其帶來的優勢大概在1%～2%之間。因此，從這個層面估計出的真實數字在5或6到8個百分點之間。給理髮師剪髮的人

上述保守策略的劣勢可以通過我的朋友，即「給理髮師理髮的人」聖費爾南多谷州立大學（San Fernando Valley State College）數學系約翰·布拉特納（John Blattner）教授的經歷體現出來。

有一天，布拉特納和他的理髮師聊起21點。當布拉特納告訴理髮師，他的朋友寫了一本書教授如何穩定地戰勝莊家，理髮師嘲笑道：「這太簡單了。」他説，「任何人只要避免爆掉（永遠在硬12點停止要牌）都可以贏」。布拉特納試圖告訴理髮師他錯了，但徒勞無功。最後等下班後，理髮師和我朋友開了一局。布拉特納帶了160美元。玩每手5美元和10美元，理髮師很快輸掉了這麼多錢。他始終斷定布拉特納是他見過的最幸運的人。在輸光了160美元以後，理髮師拒絕收手。他要求翻本，每手玩20美元。當他輸了1200美元以後，他的運氣開始翻轉。他贏回了300美元。然後好運氣用完了。最後，他在輸了1500美元以後放棄了。

理髮師至今認為布拉特納是運氣好。他不肯付錢。最終，他決定

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